В данном слове ударение должно быть поставлено на слог с первой буквой И — становИлись.
И по мере того как эти миры подвигались к Западу, они станови́лись все более совершенными и благоустроенными, потому что строители их имели теперь опыт за плечами.
— Джон Стейнбек, Гроздья гнева
Стук, треск и отрывистые фразы станови́лись все громче, и вот уже с ними рухнула стена рисованного бистро, но они ничего не замечали.
— Владимир Высоцкий, Роман о девочках
Это были опытные пилоты, многие первого и второго класса, а трое даже «миллионеры», то есть налетавшие более миллиона километров, и забавно было наблюдать, с какими смешными ошибками станови́лись военными эти штатские люди.
— Вениамин Каверин, Два капитана
Благодаря тому, что борьба с монашески-интеллигентской Византией на военном поле поэзии после Языкова заглохла и на этом славном поприще долго не являлось нового героя, русские поэты один за другим стали глохнуть к шуму языка, станови́лись тугими на ухо к прибою звуковых волн и только через слуховую трубку различали в шуме словаря свой собственный малый словарь.
— Осип Мандельштам, Век мой, зверь мой
Его движения станови́лись более равномерными и правильными.
— Василий Ян, Чингисхан. Батый