В таком слове ударение должно быть поставлено на слог с последней буквой А — рассылАя.
— Ах, как ше я лублу вас, мисс Скавлет! — проорал Ричи во всю мощь своих легких, рассыла́я губами воздушные поцелуи.
— Стивен Кинг, Оно
На вышке центрального здания неистово завертелся радиомаяк, рассыла́я во все стороны предупреждение о взлете громадного корабля.
— Иван Ефремов, Туманность Андромеды
Между тем арианские епископы, рассыла́я всюду послания, объявляли, что Афанасий, законно соборным определением низложенный, без соборного определения снова занял престол александрийский; в то же время разглашали слухи о насилиях, которыми будто бы сопровождалось его возвращение в Александрию.
— И. Калинский, Церковно-народный месяцеслов на Руси
Бату-хан продолжал грабить и опустошать страну, рассыла́я мелкие отряды во все стороны.
— Василий Ян, К «последнему морю». Огни на курганах. Юность полководца