В данном слове ударение должно быть поставлено на слог с буквой А — просуществовАть.
Трудно себе представить, чтобы человек мог просуществова́ть на болотах все это время.
— Артур Конан Дойл, Собака Баскервилей
Придется, видимо, взяться за любую работу, которая даст возможность просуществова́ть.
— Анри Шарьер, Папийон
А Ваш изм не мог бы просуществова́ть в действительности ни одного дня.
— Александр Зиновьев, Зияющие высоты
Не к восстановлению его собственности, а к её расточению, к обобществленному просаживанию тысяч, чтобы просуществова́ть на копейку, и непременно как все, в современной, не укладывающейся в сознании, хаотической форме.
— Борис Пастернак, Доктор Живаго
Я знал и прежде, что Толстому не суждено было долго жить на земле: не далее как три месяца тому назад его доктор в Карлсбаде сказывал мне, что нашему бедному другу не просуществова́ть и года; но трудно сразу примириться даже с ожиданной потерей, особенно с потерей такого человека, каков был Толстой.
— Алексей Толстой, Князь Серебряный