В данном слове ударение должно быть поставлено на слог с первой буквой И — просИтельными.
Он протянул к сидящим в зале руку, на ладони которой поблёскивал золотой ободок ордена, и обвёл зал проси́тельными глазами.
— Лев Кассиль, Федя из подплава, 1987
Худой, длинноногий и длиннорукий, с неподвижным, бледно-серым лицом и словно бы выцветшими голубыми глазками, он людей как-то невольно раздражал – и меня, пожалуй, особенно заметно – униженным своим тоном, проси́тельными словами: он, заискивая, со мной говорил о клятвах верности, о дружбе «без секретов», и я брезгливо тогда ненавидел его молящие, немигающие глаза, вечный запах изо рта, грязные, жёлтые зубы, его холодную костлявую ладонь, тонкие пальцы с коротенькими синеватыми ногтями, весь его грустный, замороженный вид.
— Юрий Фельзен, Собрание сочинений. Том II
Глаза делаются проси́тельными, точно вот-вот копеечку попросишь…
— Николай Гарин-Михайловский, Гимназисты, 1895