В данном слове ударение должно быть поставлено на слог с первой буквой А — прокАшливался.
К нему заходил кто-то из прислуги, или скорее всего из помощников, поскольку речь шла о делах, застывал у дверях, дипломатично прока́шливался, обращая этим самым на себя внимание, но, видя, что патрон на это абсолютно никак не реагирует, подавал робкий голос: мол.
— Григорий Борзенко, Потомок Нострадамуса
Он долго прока́шливался, зачем-то вытянув левую руку чуть ли не ей под нос, что-то сипя сквозь приступы.
— Михаил Савеличев, Крик родившихся завтра, 2016
Тучный, с нездоровым, багровым лицом, непривычный к уличным речам, он так и сяк приноравливался к микрофону, глухо прока́шливался.
— Игорь Бойков, Кумач надорванный. Роман о конце перестройки, 2019
Он важно прохаживался по клетке, заложив крылья за спину, иногда прока́шливался, как профессиональные вокалисты перед выступлением.
— Александр Шкуратов, Фантасма. Повести и рассказы
– Спасти мальчика? – кусок в горле обрёл размеры скалы, я подавился и думал, что конец близок, прока́шливался приблизительно полминуты.
— Алекс Вест, Поиски любви