В данном слове ударение должно быть поставлено на слог с буквой А — поспевАли.
А за женщинами, сгибаясь под тяжестью банок с черной патокой, едва поспева́ли ребятишки.
— Маргарет Митчелл, Унесенные ветром
Она выбежала из дома без шляпы, все еще сжимая в руке обеденную салфетку, и шла так быстро, что старые ноги Мамушки еле поспева́ли за ней.
— Маргарет Митчелл, Унесенные ветром
На лозах поспева́ли черные гроздья, пахнувшие розой.
— Антонин Ладинский, XV легион. Последний путь Владимира Мономаха
Осенью в оврагах поспева́ли красные ягоды рябин.
— Антонин Ладинский, Когда пал Херсонес. Анна Ярославна - королева Франции
С каждым приездом сын делался длиннее и худее; рукава и брюки еле поспева́ли за его ростом; даже волосы, прежде светлыми прядями опадавшие к плечам, теперь, сколько их ни стригли, топорщащимся ежом вытягивались кверху.
— Сигизмунд Кржижановский, Тринадцатая категория рассудка