В таком слове ударение должно быть поставлено на слог с первой буквой А — попАвшаяся.
Но первая попа́вшаяся фамилия не может создать династию.
— Виктор Гюго, Отверженные
Я любил натуральную историю с детских лет; книжка на русском языке (которой названия не помню) с лубочными изображеньями зверей, птиц, рыб, попа́вшаяся мне в руки еще в гимназии, с благоговеньем, от доски до доски, была выучена мною наизусть.
— Иван Тургенев, Белый пудель
Фонтанж была глупенькая овца, попа́вшаяся на зубы голодному волку.
— Кондратий Биркин, Временщики и фаворитки
Вид оживляли две бабы, которые, картинно подобравши платья и подтыкавшись со всех сторон, брели по колени в пруде, влача за два деревянные кляча изорванный бредень, где видны были два запутавшиеся рака и блестела попа́вшаяся плотва; бабы, казалось, были между собою в ссоре и за что-то перебранивались.
— Николай Гоголь, Мертвые души
Попа́вшаяся им навстречу в аллее молоденькая девчонка-нянечка поздоровалась с ней с таким выражением лица, как будто тоже что-то знала.
— Константин Симонов, Последнее лето