В указанном выше слове ударение должно быть поставлено на слог с третьей буквой О — осторОжными.
Некоторое время оба молчали; племянник семенил осторо́жными шажками, дядя держался очень прямо и устало Опирался на зонтик, как на трость.
— Джон Голсуорси, Собственник
Доски скрипнули под чьими-то осторо́жными шагами, и из-за брезента появился Эл.
— Джон Стейнбек, Гроздья гнева
Видимо, с света войдя в темноту, человек этот остановился; потом осторо́жными шагами он подвинулся к столу и положил на него небольшие, закрытые кожаными перчатками руки.
— Лев Толстой, Война и мир
Если мы их потревожим, они сделаются более осторо́жными, расставят караулы у входа, будут обыскивать окрестности и затруднят нам дальнейшие шаги; ведь мы еще не знаем, на каком уровне развития стоят эти цари юрской природы.
— Владимир Обручев, Плутония. Земля Санникова
В длинной, до пят, малиновой с лиловыми полосами рубашке, с поднятыми горизонтально белыми руками, она двигалась по ковру такими осторо́жными шагами, точно старалась обойти невидимые хрупкие предметы.
— Василий Ян, К «последнему морю». Огни на курганах. Юность полководца