В указанном выше слове ударение должно быть поставлено на слог с третьей буквой О — осторОжной.
Когда она всё-таки втиснула его, ей пришлось быть очень осторо́жной, чтобы, закрывая крышку, не повредить ему хвост.
— Роальд Даль, Матильда
Ей надо быть очень осторо́жной, она легко простужается.
— Джеймс Клавелл, Сегун
Раз она его не одобряла, то, кажется, одного этого было уже достаточно… Я отговаривался необходимостью скрывать правду, но ее это не убеждало… Она изъявляла неудовольствие — необоснованное, на мой взгляд; тысячу раз я находил ее во многих отношеньях излишне строгой, осторо́жной, я даже укорял ее про себя в холодности.
— Джейн Остeн, Эмма
Он посмотрел усталым и грустным взглядом на жениха и невесту, вздохнул и, выпростав из-под ризы правую руку, благословил ею жениха и так же, но с оттенком осторо́жной нежности, наложил сложенные персты на склоненную голову Кити.
— Лев Толстой, Анна Каренина
Даже как бы еще приятнее стал он в поступках и оборотах, еще ловче подвертывал под ножку ножку, когда садился в кресла; еще более было мягкости в выговоре речей, осторо́жной умеренности в словах и выраженьях, более уменья держать себя и более такту во всем.
— Николай Гоголь, Мертвые души