В указанном выше слове ударение следует ставить на слог с третьей буквой О — осторОжничать.
— сокрушенно развел руками Саймон Карфекс, — Стоило ли ради этого осторо́жничать все это время!
— Ричард Блэкмор, Ричард Додридж Блэкмор - Лорна Дун
А вот с Америкой Викуньей приходилось осторо́жничать, от нее пахло пеленками, это будило в нем родительские инстинкты, и он боялся, что она не вынесет его запаха, запаха похотливой старости.
— Габриэль Маркес, Любовь во время чумы
Как можно осторо́жничать и думать о последствиях, как можно не верить в торжество справедливости и добра, когда искренность и пыл - залог успеха.
— Джордж Элиот, Миддлмарч
Да и жизнь дорожает с каждым часом, про извозчика и театр уже и не помышляем, да и с трамваем приходится осторо́жничать, больше уповая на собственные ноги; теперь уж не для притворства беру на дом дополнительную работу, спасибо, что еще есть такая.
— Леонид Андреев, Сборник "Дневник Сатаны"
Зенону не всегда удавалось быстро отделаться от этого несносного пенсионера и потому, что он не любил всякую грубость, и потому, что этот жалкий старикашка был потоптан самой жизнью, и какая–то естественная брезгливость заставляла Зенона осторо́жничать с ним, чтобы случайно не дотоптать.
— Фазиль Искандер, Сандро из Чегема