В таком слове ударение должно быть поставлено на слог с последней буквой И — легитимИруют.
В традиционной парадигме представительной демократии партии выступают посредниками между государством и гражданами, которые агрегируют запросы общества, формируют на их основе политику государства и тем самым легитими́руют управляющих, но реально, как показывает автор статьи, сейчас усилия руководства правящих партий и партийной элиты на ключевых постах государства направлены больше на формирование в обществе благоприятного образа власти и проводимой ею политики.
— Анатолий Кулик, Политическая наука № 4 / 2010 г. Политические партии, демократия и качество государственного управления в современном обществ, 2010
Другое, ничуть не менее значимое обстоятельство связано с тем, что существующие варианты понимания права отражают и в какой-то мере легитими́руют различные конфигурации социальных потребностей и ожиданий.
— Юрий Ветютнев, Право – язык и масштаб свободы, 2015
Результаты исследования в таком случае лишь легитими́руют уже предопределённые опции.
— Райнер Грундманн, Власть научного знания, 2015
Культурный капитал – это языковая и культурная компетенция человека, богатство в форме знания или идей, которые легитими́руют статусы и власть, поддерживают установленный социальный порядок, существующую в обществе иерархию.
— А. А. Шабунова, Здоровье населения в России: состояние и динамика, 2010
Производство и воспроизводство символов национальной идентичности, институтов социального обеспечения и институциализация политических прав облегчают процесс формирования центра в культурном и административном отношении, легитими́руют правила принятия решений относительно контроля над возможностями «выхода».
— Михаил Ильин, Политическая наука №2/2011 г. Государственная состоятельность в политической науке и политической практике, 2011