В данном слове ударение должно быть поставлено на слог с буквой У — качнУлся.
Он споткнулся о ствол, ствол ужасно качну́лся.
— Уильям Голдинг, Повелитель мух
Эльф без разбега подпрыгнул, ухватился за высокую ветку и сильно качну́лся, собираясь перебраться на следующую.
— Джон Толкин, Властелин колец
Но началась третья тревога, бомбы упали близко, дом качну́лся, точно сделал шаг вперед и назад, в кухне посыпались с полок кастрюли, и Варя взяла меня за руку я повела вниз, не слушая возражений.
— Вениамин Каверин, Два капитана
Сам! — С пьяной решительностью Аучу-багатур поднялся, качну́лся, и, высоко поднимая ноги, выпрямляя спину, двинулся к своему стану.
— Исай Калашников, Жестокий век
– Я бы… Мне бы по надобности сходить… по надобности, ваше императорское… по малой нужде… – Григорий качну́лся, словно переломленный, указывая широким жестом под кровать.
— Михаил Шолохов, Тихий Дон