В таком слове ударение должно быть поставлено на слог со второй буквой А — карАбкаясь.
Наконец при помощи остатков лестницы, влезая друг другу на плечи, кара́бкаясь по стенам, цепляясь за перекрытия, рубя саблями у самого края люка последних, кто еще сопротивлялся, десятка два осаждавших – солдаты, национальные и муниципальные гвардейцы, вперемешку, почти все изуродованные при этом опасном штурме ранами в лицо, ослепленные кровью, разъяренные, озверелые, – пробились в залу второго этажа.
— Виктор Гюго, Отверженные
Зелень выпирала отовсюду, укореняясь на мостовых в щелях между камнями, выползая из трещин в бетоне, кара́бкаясь даже по сиденьям покинутых машин.
— Джон Уиндем, День триффидов
Но подхватили сани и понесли по скользкому льду, и стало больно и нехорошо, раскатывает на поворотах, прыгает по ухабам — больно! — больно! — заблудились совсем и три дня не могут найти дороги; ложатся на живот лошади, кара́бкаясь на крутую и скользкую гору, сползают назад и опять карабкаются, трудно дышать, останавливается дыхание от натуги.
— Леонид Андреев, Сборник "Дневник Сатаны"
С большими усилиями, кара́бкаясь по выступу стен, Мария добралась до этого отверстия и выбралась на волю, в час, когда весь город уже спал и луна полновластно царила над грудами полуразрушенных зданий.
— Валерий Брюсов, Моцарт
Целый караван вьючных лошадей жмется тогда между рекой и каменными горами, то огибая, по брюхо лошади в воде, какую-нибудь выдавшуюся скалу, то кара́бкаясь по каменистым тропинкам, то мелькая на вершинах чуть не под облаками.
— Владимир Короленко, Слепой музыкант