В указанном выше слове ударение следует ставить на слог с буквой У — запУтываются.
Я спрашиваю себя, не я ли один из тех «рабов порока», которые, «раз избегнув скверн мира сего, вновь запу́тываются в сетях и терпят поражение», и последнее их падение хуже, чем первое?
— Томас Гарди, Тэсс из рода д'Эрбервиллей
Представляемые на сцене люди нередко запу́тываются в самых невероятных, фантастических ситуациях.
— Юстейн Гордер, Мир Софии
Начинают они обычно с того, что запу́тываются в веревке.
— Джером Джером, Трое в лодке, не считая собаки
Но так как концы их должны уходить на значительную глубину, чтобы не соприкасаться с корпусом судна, а волочась постоянно в воде, они могут причинить немало неприятностей, не говоря уж о том, что они запу́тываются в корабельных снастях и вообще тормозят ход судна; по всему по этому нижние концы корабельных громоотводов не всегда бывают спущены за борт, их делают в виде длинных лёгких звеньев, которые в случае надобности легко можно выбрать наверх или же спустить в воду.
— Герман Мелвилл, Моби Дик, или Белый Кит
— Когда запу́тываются, можно и выпутаться.
— Анатолий Иванов, Вечный зов