В указанном выше слове ударение падает на слог с последней буквой А — досаждАют.
Хищники досажда́ют нам, они похищают наши запасы.
— Джин Ауэл, Клан Пещерного Медведя
К пище почти равнодушен, но что эта пища, кроме воскресных и праздничных дней, так дурна, что, наконец, он с охотой принял от нее, Сони, несколько денег, чтобы завести у себя ежедневный чай; насчет всего же остального просил ее не беспокоиться, уверяя, что все эти заботы о нем только досажда́ют ему.
— Федор Достоевский, Преступление и наказание
Тогда у него дома есть все и ему уже не досажда́ют всякие отвлекающие мелочи.
— Джордж Элиот, Миддлмарч
— Кому, хан-отец, меркиты досажда́ют больше всего?
— Исай Калашников, Жестокий век
Студенческие грехи досажда́ют мне часто, но эта досада ничто в сравнении с тою радостью, какую я испытываю уже тридцать лет, когда беседую с учениками, читаю им, приглядываюсь к их отношениям и сравниваю их с людьми не их круга.
— Антон Чехов, Палата № 6