В данном слове ударение следует ставить на слог с последней буквой А — досаждАли.
Когда началась муштра, все графство столпилось на ферме и вокруг нее, привлеченное столь редким в наших краях зрелищем, и нам, признаться, эти зеваки досажда́ли куда больше, чем солдаты и ополченцы.
— Ричард Блэкмор, Ричард Додридж Блэкмор - Лорна Дун
Товарки ее по комнате, Мэриэн и две другие, казалось, догадывались, что решительный момент приближается, и, встречаясь с ней в спальне, не досажда́ли ей своими замечаниями.
— Томас Гарди, Тэсс из рода д'Эрбервиллей
Существовало подозрение, что крысы, которые особенно досажда́ли в эту зиму, были в соглашении со Сноуболлом.
— Джордж Оруэлл, Скотный двор
Ада говорила о своей подруге, о своем отце, о своих женихах, которые ей очень досажда́ли.
— Валерий Брюсов, Моцарт
Утешения мои ее только мучили; мои расспросы все более и более досажда́ли ей, даже сердили ее.
— Федор Достоевский, Униженные и оскорбленные