В данном слове ударение должно быть поставлено на слог со второй буквой О — догОнит.
Он знал: если клоун их дого́нит, то сшибет на землю.
— Стивен Кинг, Оно
– Дого́нит, дого́нит! – кричала Лимпиаде с соседней гребанки баба.
— Сергей Есенин, Я, Есенин Сергей…
Но он, будто боясь, что она его дого́нит, пошел быстрее, почти побежал.
— Анатолий Иванов, Вечный зов
– Ох, Чик, – покачал головой Бочо, – излупцует же он тебя кнутом, если дого́нит.
— Фазиль Искандер, Детство Чика
– А ну-ка, Михайло Иваныч, представьте, как поп Мартын к заутрени не спеша идет, на костыль упирается, тихо вперед подвигается, – и как поп Мартын от заутрени домой гонит, что и попадья его не дого́нит. – А как бабы на барскую работу не спеша бредут? – Мишенька едва передвигает лапу за лапой. – И как бабы с барской работы домой бегут? – Мишенька принимается шагать в сторону. – И как старый Терентьич из избы в сени пробирается, к молодой снохе подбирается. – Михайло Иваныч семенит и путается ногами. – И как барыня с баб в корзинку тальки да яйца собирает, складывает, а барин все на девичью работу посматривает, не чисто-де лен прядут, ухмыляется, знать, до Паранькиного льна добирается. – Михайло Иваныч ходит кругом вожака и треплет его за гашник!
— Сборник, Скоморошины