В данном слове ударение должно быть поставлено на слог с первой буквой Я — втЯгивается.
Наша колонна втя́гивается в жиденький лесок.
— Эрих Ремарк, На Западном фронте без перемен
«Со святыми упокой», – звучат в его ушах низкие ноты Корнева, и он оглядывается, точно проснувшись от какого-то сладкого забвенья, и сразу втя́гивается в мучительную тоску переживаемого непоправимого момента.
— Николай Гарин-Михайловский, Детство Тёмы
Проходят дни, проходят недели… Юнкер четвертой роты, первого курса Третьего военного Александровского училища Александров понемногу, незаметно для самого себя, втя́гивается в повседневную казарменную жизнь, с ее точным размеренным укладом, с ее внутренними законами, традициями и обычаями, с привычными, давнишними шутками, песнями и проказами.
— Александр Куприн, Олеся
Наружу – только пушистый хвост, но и он понемногу втя́гивается, втя́гивается под бумажную крышу.
— Александр Куприн, Париж интимный
Он нужен для того места, которое ожидает его, и потому, почти независимо от его воли и несмотря на его нерешительность, на отсутствие плана, на все ошибки, которые он делает, он втя́гивается в заговор, имеющий целью овладение властью, и заговор увенчивается успехом.
— Лев Толстой, Война и мир