В данном слове ударение должно быть поставлено на слог с первой буквой Я — умилЯясь.
И так мгновенно совершился этот переход, так бурно прорывались наружу чувства, волновавшие толпу, что те самые люди, которые минуту тому назад яростно требовали смерти Дарнея, теперь проливали слезы, умиля́ясь, сочувствуя ему.
— Чарльз Диккенс, Повесть о двух городах
– Этого я не думаю, – сказал Левин с улыбкой и, как всегда, умиля́ясь на его низкое мнение о себе, отнюдь не напущенное на себя из желания казаться или даже быть скромным, но совершенно искреннее.
— Лев Толстой, Анна Каренина
– Что вы, что вы! – поспешно ответил ему Чик, умиля́ясь покаянию старого охотника. – Я никогда ничего такого интересного не слышал!
— Фазиль Искандер, Детство Чика
И счастливые и веселые были и няня и родители, когда няня, смеясь и умиля́ясь, рассказала им всю историю.
— Лев Толстой, Крейцерова соната