В упомянутом выше слове ударение ставят на слог со второй буквой Е — попутешЕствовать.
Тем временем мы решили каждый про себя обдумать, что именно нужно сказать: притвориться ли, будто мы испугались слежки каких-то подозрительных лиц; или мне выразить желание попутеше́ствовать, поскольку я никогда не выезжал из Англии.
— Чарльз Диккенс, Большие надежды
Но сначала он намерен попутеше́ствовать.
— Луис Реннисон, Ангус, стринги и поцелуй взасос
Оказалось, что поначалу господин Зеземанн намеревался вместе с матушкой немного попутеше́ствовать по Швейцарии, убедившись предварительно в том, что Клару такая поездка не слишком огорчит.
— Йоханна Спири, Хайди, или Волшебная долина
Разве что возьму на себя комиссию, скажем, по табачной части, так, чтобы попутеше́ствовать немного и провести время в приятной компании.
— Джордж Элиот, Миддлмарч
У Челавы уши вспыхнули: давно ему хотелось попутеше́ствовать, да отец денег не давал.
— Алексей Ремезов, Сказка серебряного века