В данном слове ударение должно быть поставлено на слог со второй буквой А — квартАльному.
После чего владелец писчебумажной лавки рассказывает кварта́льному грустную историю своего знакомства с Джо, опустив эпизод с полукроной.
— Чарльз Диккенс, Холодный дом
В прихожей, в толпе, он успел разглядеть обоих дворников из того дома, которых он подзывал тогда ночью к кварта́льному.
— Федор Достоевский, Преступление и наказание
Русский же хозяин, без особо важных поводов, не пойдет ни к кварта́льному (полицейскому надзирателю), ни к помещику, ибо полиция и дворянство – общие враги и бородатого хозяина, и небритого работника.
— Александр Герцен, Кто виноват?
Городничий (принимая шпагу, к кварта́льному).
— Николай Гоголь, Ревизор
Кварта́льному надо почесть сделать, хожалого уважить, будочников обдарить.
— Павел Мельников-Печерский, Княжна Тараканова и принцесса Владимирская