В данном слове ударение должно быть поставлено на слог со второй буквой А — кардинАльскую.
Он обещал сделать Моля епископом, если тот перейдет в англиканство, и клялся употребить все свое влияние, чтобы добыть Трэйлу кардина́льскую шапку, если он отступит от своей веры.
— Уильям Теккерей, Ярмарка тщеславия
Он ученый человек, он учился закону в Монпелье и медицине в Париже, он умеет так пестовать своих знакомцев, чтобы получать что угодно, епископские мантии, кардина́льскую шапку, как только ему захочется.
— Умберто Эко, Имя розы
В 1624 году благодаря стараниям Марии Медичи буквально из ее рук Ришелье получил кардина́льскую шапку.
— Кондратий Биркин, Временщики и фаворитки
А я не получу приглашенья на барбизонский завтрак, хоть и разламывал в детстве шестигранные коронационные фонарики с зазубринкой и наводил на песчаный сосняк и можжевельник – то раздражительно-красную трахому, то синюю жвачку полдня какой-то чужой планеты, то лиловую кардина́льскую ночь.
— Осип Мандельштам, Век мой, зверь мой
Я рассчитывал на кардина́льскую и дворцовую казну… Украдена! – закричал он, багровея. – Не могу же я обложить контрибуцией мою же столицу!
— Алексей Толстой, Петр Первый