В данном слове ударение должно быть поставлено на слог с первой буквой А — дострАивалась.
В начале апреля 2015 года в «Москва-Сити» срочно достра́ивалась башня «Восток» – гигантская девяносто пятиэтажная конструкция высотой в 374 метра.
— Юлия Ковалькова, @ Социальные сети
Около моей хижины работа также кипела: достра́ивалась хижина, копали ямы для мин, вырубались кусты, делался более удобный спуск от площадки, на которой стояла моя хижина, к песчаному берегу моря у устья ручья и т. д.
— Николай Миклухо-Маклай, Путешествия на Новую Гвинею (Дневники путешествий 1872—1875). Том 1
Кроме того, на молу, у средних входных ворот, были установлены две пушчонки полевой артиллерии и такие же два или три орудия красовались на деревянной дамбе у входа в канал военного порта, с левой стороны; на возвышенном же правом берегу, вблизи парома, достра́ивалась вышка, на которую предполагалось водрузить прожектор.
— Б. К. Шуберт, На крейсерах «Смоленск» и «Олег»
Она непрерывно достра́ивалась и чинилась, пока не приобрела свой законченный вид.
— Екатерина Соллъх, Осквернённый мир. Инквизитор