В указанном выше слове ударение следует ставить на слог с первой буквой А — вылАвливал.
Он говорил о том, что Стен всегда выла́вливал самую крупную рыбу, которая не обязательно была вкуснее мелкой рыбы из лагуны, но в большей степени способствовала наполнению наших желудков.
— Алекс Гарленд, Пляж
Давно уже выйдя на пенсию, он по-прежнему среди ночи, не в состоянии уснуть, вихрем носился по кампусу и весьма искусно выла́вливал в темных уголках юных любовников, которые удирали от него по влажным тропкам, припадали к ноздреватой земле и пытались спрятаться среди нежных кустарников, росших у стен прекрасных старинных зданий.
— Джон Ирвинг, Мир глазами Гарпа
Помню, в детском саду, когда нам подавали плов со свининой, я выла́вливал куски мяса и отдавал их своим товарищам.
— Фазиль Искандер, Сборник "Кролики и удавы"
Обрывки сильной скрипичной музыки я выла́вливал в диком граммофоне дачной разноголосицы.
— Осип Мандельштам, Век мой, зверь мой
И последнее мое о тебе, от тебя, озарение: те сердолики, которые ты так тщательно из груды простых камней, десятилетьями подряд выла́вливал, – каждый зная в лицо и каждый любя больше всех, – Макс, разве не то ты, десятилетия подряд, делал с нами, из каждой груды – серой груды простых камней – неизбежно извлекая тот, которому цены нет!
— Марина Цветаева, Проза