В данном слове ударение должно быть поставлено на слог с первой буквой Е — брЕзгует.
Надо же пробить себе дорогу – апостольское звание не бре́згует доходным местечком.
— Виктор Гюго, Отверженные
За ним – гляди в оба, он ничем не бре́згует, ему всё годится: фунт гвоздей, десяток кирпича, мешок известки – всё подай сюда!
— Максим Горький, Макар Чудра и многое другое…
Вы как, батюшка?» – «Живем и мы, скажет, по грехам нашим, тоже небо коптим». – «Живите больше, Анкудим Трофимыч!» Никем то есть не бре́згует, а говорит – так всякое слово его словно в рубль идет.
— Федор Достоевский, Записки из Мертвого дома. Рассказы
– Дело знает и нашим братом не бре́згует.
— Алексей Новиков-Прибой, Цусима
Зашел к нему нынче утром – он моется в маленьком тазике, – в одной воде и руки вымыл и лицо и нахаркал туда же… А нами бре́згует.
— Алексей Толстой, Петр Первый