В таком слове ударение должно быть поставлено на слог со второй буквой Е — увековЕчивают.
Фараоны увекове́чивают своё имя в гигантских пирамидах и в то же время не оставляют никаких других следов своей деятельности.
— Этьен Кассе, В тисках мирового заговора, 2008
Памятники увекове́чивают прерванный полёт их молодости, предугадавшей триумфальное утро национальной славы.
— Вадим Россман, Столицы. Их многообразие, закономерности развития и перемещения, 2013
Я не знаю, может, кому и приятно, что его увекове́чивают в бетоне.
— М. С. Серова, На всю катушку
Это — вредная игрушка, ибо попытки проводить на деле «широкий демократический принцип» облегчают только полиции широкие провалы и увекове́чивают царящее кустарничество, отвлекают мысль практиков от серьёзной, настоятельной задачи вырабатывать из себя профессиональных революционеров к составлению подробных «бумажных» уставов о системах выборов.
— В. И. Ленин (Ульянов), Полное собрание сочинений. Том 6. Январь – август 1902
Дети и построение города увекове́чивают имя, но превосходнее того и другого считается безукоризненная жена.
— Т. Н. Терещенко, Когда мудрость войдет в сердце твое… Библейские советы, помогающие в жизни, 2014